New PDF release: Actes de Vatopedi : Tome 2, De 1330 à 1376, édition

By Jacques Lefort, Vassiliki Kravari, Christophe Giros, Kostis Smyrlis

ISBN-10: 2283604621

ISBN-13: 9782283604625

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La loi de X, conditionnellement à B0 , se détermine par : 4 10 = 6 15 2 4 4 P (X = 2|B0 ) = P (N1 B2 ) = × = 6 5 15 2 1 4 1 P (X = 3|B0 ) = P (N1 N2 B3 ) = × × = 6 5 4 15 P (X = 1|B0 ) = P (B1 ) = TD 2 • Variable aléatoire discrète 31 Notons au passage que la somme de ces probabilités conditionnelles est bien égale à 1. Si la boule tirée initialement est noire, il peut y avoir cette fois jusqu’à cinq tirages avant d’obtenir une noire, puisqu’il y a quatre blanches. La loi conditionnelle est définie par : 2 5 = 6 15 4 2 4 P (X = 2|N0 ) = P (B1 N2 ) = × = 6 5 15 4 3 2 3 P (X = 3|N0 ) = P (B1 B2 N3 ) = × × = 6 5 4 15 4 3 2 2 2 P (X = 4|N0 ) = P (B1 B2 B3 N4 ) = × × × = 6 5 4 3 15 4 3 2 1 2 1 P (X = 5|N0 ) = P (B1 B2 B3 B4 N5 ) = × × × × = 6 5 4 3 2 15 P (X = 1|N0 ) = P (N1 ) = La loi de X se déduit de la formule de la probabilité totale en décomposant l’événement (X = x) sur B0 et N0 , avec pour x ∈ X (Ω) = {1, 2, 3, 4, 5} : P (X = x) = P (B0 ) P (X = x|B0 ) + P (N0 ) P (X = x|N0 ) 2 10 1 5 5 2 4 1 4 4 × + × = , P (X = 2) = × + × = , 3 15 3 15 9 3 15 3 15 15 1 1 3 1 1 2 2 2 + × = , P (X = 4) = × = et P (X = 5) = P (X = 3) = × 3 15 3 15 9 3 15 45 1 1 1 × = .

Il s’agit donc d’une loi absolument continue dont on déterminera la densité en dérivant F et le calcul des moments s’effectuera alors comme dans les exercices précédents. Lecture de tables : loi normale 15. a) Si X suit une loi N (35, 5), calculer P (X < 25), P (37,5 < X < 40) et P (32,5 < X < 37,5). a. Y de loi normale, telle que P (Y > −3) = 0,691 5 et P (Y < 2) = 0,977 2. Analyse de l’énoncé et conseils. La table 1, page 194, fournit les probabilités associées à la loi normale centrée et réduite.

On peut donner comme contre-exemple la loi de Cauchy de densité 1/π 1 + x2 et qui pourtant n’admet pas d’espérance. Cependant, si l’intégrale +∞ généralisée −∞ xf (x) dx existe, alors on a bien E (X) = 0. 3 Faux. La variable Y = −X suit une loi normale, comme X, et X + Y = 0, donc cette variable suit une loi de Dirac (que l’on pourrait envisager comme cas limite d’une loi normale d’écart type nul). Bien sûr l’énoncé devient vrai si on ajoute la condition d’indépendance des variables X et Y. 4 Vrai.

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Actes de Vatopedi : Tome 2, De 1330 à 1376, édition diplomatique bilingue français-grec ancien by Jacques Lefort, Vassiliki Kravari, Christophe Giros, Kostis Smyrlis


by James
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